纯粹数学发展中的一个显著特点是围绕重大问题和著名难题开展研究，发展新方法和新理论，进而促进重大问题的解决，产生新理论和新领域。这一特点也是推动纯粹数学发展的主要动力之一。展望未来若干年，纯粹数学优先发展领域选择的一些基本考虑和出发点应为：国际当前活跃的前沿和主流方向，特别应关注具有发展潜力和重要意义的新方向和新领域，具有重要学术价值和影响的重大问题和猜想；我国具有良好研究基础和研究队伍的方向和领域。综合上述因素，建议在未来的若干年优先发展如下一些方向和领域：

（一）代数数论
（二）解析数论
（三）自守形式和 L- 函数
（四）组合数论、数的几何
（五）表示理论和导范畴
（六）代数结构与 K- 理论
（七）代数簇的分类、双有理几何与模空间以及代数叠
（八）集合论、模型论、证明理论以及递归理论
（九）几何方程奇点研究和复流形分类
（十）一般情形的 Yau - Tian - Donaldson 猜测
（十一）广义相对论中质量和等周不等式之间的关系
（十二）共形紧爱因斯坦（Einstein）流形无穷远边界的共形几何和内部黎曼（Riemann）几何之间的关系
（十三）指标理论及流形上的整体分析
（十四）子流形与黎曼（Riemann）几何若干问题
（十五）三维流形中的曲面理论
（十六）纽结与辫群理论
（十七）流形的同伦与同调理论若干问题
（十八）低维流形上的几何、规范场理论与辛拓扑
（十九）几何群论与双曲几何
（二十）拓扑量子场论与范畴论
（二十一）卡拉比 - 丘（Calabi - Yau）流形与镜像对称
（二十二）卡拉比 - 丘（Calabi - Yau）流形上格罗莫夫 - 威腾（Gromov -Witten）不变量的计算
（二十三）Virasoro 猜想
（二十四）孔策维奇（Kontsevich）的同调镜像对称猜测
（二十五）Lagrangian Floer 同调理论
（二十六）Strominger - Yau - Zaslow（SYZ）猜想
（二十七）复动力系统及相关问题
（二十八）算术与代数动力系统
（二十九）泰希缪勒（Teichmüller）空间理论
（三十）单变元与多变元的解析映照的值分布及相关问题
（三十一）多复变超越方法及其在复几何中的应用
（三十二）多复变中与群作用相关的问题
（三十三）多复变数几何函数论
（三十四）非交换非结合的多复变理论
（三十五）调和分析及相关问题
（三十六）粗 Baum - Connes 猜测
（三十七）线性算子的谱理论、结构及其应用
（三十八）C * - 代数的分类理论
（三十九）算子空间理论与非交换分析
（四十）巴拿赫（Banach）空间几何学、非线性嵌入与向量值调和分析
（四十一）变分方法及其应用
（四十二）莫尔斯（Morse）理论和指标理论及其应用
（四十三）双曲外的部分双曲微分动力系统
（四十四）微分动力系统的遍历论
（四十五）哈密顿（Hamilton）系统的动力学不稳定性
（四十六）辛映射的不动点与周期点理论
（四十七）非线性偏微分方程定义的哈密顿（Hamilton）动力系统
（四十八）拓扑动力系统的遍历论
（四十九）常微分方程的分支理论与弱化希尔伯特（Hilbert）第16 问题
（五十）偏微分、时滞泛函方程定义的耗散型无穷维动力系统
（五十一）分形几何
（五十二）纳维 - 斯托克斯（Navier - Stokes）方程
（五十三）爱因斯坦（Einstein）方程
（五十四）欧拉（Euler）方程
（五十五）玻尔兹曼（Boltzmann）方程
（五十六）非线性扩散方程与椭圆方程
（五十七）混合与退化型偏微分方程组
（五十八）非线性色散方程
（五十九）非线性数学期望下的随机分析理论及其应用
（六十）正则结构理论与随机量子化方程
（六十一）随机微分几何与马利亚万（Malliavin）分析
（六十二）随机微分方程
（六十三）随机偏微分方程
（六十四）随机矩阵与随机场理论
（六十五）马尔可夫（Markov）过程的遍历论与离散空间上马尔可夫（Markov）过程的精细刻画
（六十六）一般半鞅理论与狄氏型理论的推广及应用
（六十七）现代概率极限理论

应用数学和计算数学发展的动力主要来源于数学的外部，其研究与发展不仅需要满足学科自身发展的需求，而且还需要更加重视其实际应用背景的发展需求。因此，应用数学和计算数学优先发展方向和领域的选择，不仅应该关注其学科发展更深入和内部学科分支分得更细的发展趋势，而且应该更加重视应用问题驱动的研究，以及与数学的其他分支、自然科学、工程技术、经济金融与管理科学等领域相互交叉、渗透与融合而产生的交叉研究。再考虑到国际上未来若干年主要发展趋势的情况，我国已经具备良好研究基础和雄厚实力研究队伍的方向和领域情况以及我国未来需要部署发展的方向和领域情况等，建议在未来的若干年优先发展如下一些方向和领域：

（一）流体力学的稳定与不稳定性问题的数学分析
（二）输运问题的模型约化
（三）液晶材料的数学建模及分析
（四）组合学中的代数方法与概率方法及其应用
（五）图论的现代理论及重要应用
（六）稀疏优化和低秩矩阵优化的方法和理论
（七）复杂计算环境下组合优化理论与近似算法
（八）随机优化和随机算法理论
（九）高阶非线性稀疏性的数学理论及其应用
（十）数学机械化中的符号分析
（十一）云计算环境下的编码与密码学
（十二）支持 3D 打印的高效几何图形处理
（十三）图像处理的数学理论与方法
（十四）随机分布参数系统的控制理论与控制问题的算法与实现
（十五）面向 E 级计算的新型计算方法
（十六）多物理耦合偏微分方程的可计算建模与算法
（十七）不确定性量化及其高效算法
（十八）谱方法和高阶方法的理论及应用
（十九）大规模代数和特征值问题的快速算法
（二十）应用偏微分方程的反问题算法与分析
（二十一）非守恒型双曲方程组的高精度计算方法
（二十二）复杂流动问题的可计算建模与高效计算方法
（二十三）软物质的可计算建模与模拟
（二十四）多尺度建模与模拟
（二十五）电子结构理论的计算方法
（二十六）基于重大工程问题的优化与决策
（二十七）量子信息的若干关键问题
（二十八）大规模网络的建模、关键性质和算法
（二十九）金融保险的概率和优化建模
（三十）高通量组学数据的分析与优化建模
（三十一）生物网络的建模与分析
（三十二）结构生物信息学建模与分析
（三十三）系统生物学建模与分析
（三十四）群体遗传学建模与分析
（三十五）计算表观组学建模与分析
（三十六）宏基因组与宏观生物系统的建模与分析
（三十七）生物分子模拟与计算
（三十八）生态数据的建模与分析

统计学与数据科学发展的强大动力来自于人类在分析与理解所拥有的数据过程中需要的理论与方法的需求，包括了利用数据对不确定现象的特征和规律进行推断过程中需要的理论与方法的需求，以及从大数据获取知识过程中需要的理论与方法的需求。因此 , 统计学与数据科学中优先发展方向与领域的选择 , 不仅需要考虑未来若干年我国具有好的研究基础和强的研究队伍的方向和领域情况，以及未来需要部署发展的方向和领域情况；还更应该重视国家的战略需求、我国经济社会的重要需求以及可能拥有的大数据情况等。特别地，应该鼓励直面大数据对传统统计学发起挑战的研究者。基于以上考虑，建议统计学与数据科学若干年优先发展如下的方向与领域：

（一）大数据的数学结构、特征提取及表示
（二）大数据的关联性度量与分析
（三）超高维数据分析的方法和理论
（四）多源异构信息融合的统计与学习的理论基础
（五）非结构化数据的学习理论
（六）因果推断及因果机制
（七）数据分析的随机算法和分布式计算
（八）复杂数据结构的稳健统计推断
（九）混合型数据的统计推断
（十）地理数据的建模和分析
（十一）质量控制和计算机试验设计的统计理论与方法
（十二）金融数据的建模和分析
（十三）社会网络的数据挖掘

数学发展的大统一趋势，数学研究内涵的快速扩展、交叉融合趋势，数学作用的技术化趋势和统计学的快速变革趋势是当今数学发展的基本特征之一。数学之外的广泛学科不仅因自身的深入发展需要运用更深刻的数学，而且也更是源源不断地向数学提出全新的科学问题与挑战。数学界应十分关注并鼓励数学家深入、持久地与其他学科交叉、融合，通过解决交叉领域中的数学问题以提升对国家经济社会发展的直接贡献水平。根据学科发展前沿与国家重大需求相结合的原则，在与其他学科交叉方面，提出如下优先研究领域：

（一）大数据的分析与理解
（二）生物与生态数据中的建模、分析与计算
（三）医学成像与医学图像处理的理论与技术
（四）资源勘探中反问题的理论与计算

（本文摘编自国家自然科学基金委员会数学物理科学部编《国家自然科学基金数理科学“十三五”规划战略研究报告》第一篇第四章，内容有删减。）