2025年3月26日，挪威科学与文学院宣布将2025年阿贝尔奖（Abel Prize）授予日本京都大学数理解析研究所（RIMS）和京都大学高等研究院（KUIAS）的柏原正树（Masaki Kashiwara）教授，以表彰他在代数分析和表示论领域所做出的奠基性贡献，特别是D-模理论的发展以及晶体基的发现。

Masaki Kashiwara（柏原正树）

图片来自阿贝尔奖官网https://abelprize.no

在半个多世纪的数学研究中，柏原正树开启了数学新领域的大门。他搭建了数学不同领域之间的桥梁、创造了工具，以无人想象的方法证明了令人惊叹的定理，是一位真正的数学先知。

与阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）一样，柏原正树（1947-）年少时就展露出卓越才华。他中学时通过“鹤龟算”（Tsurukamezan）问题（已知头足总数，分别求鹤龟数量）点燃了对代数的热爱。他热爱归纳能解决任何问题的通用方法。在数学生涯中，他不断开创解决数学问题的新路径与新方法。

在东京大学大四研讨班上课时，他第一次遇到了导师佐藤干夫（Mikio Sato，1928-2023）。佐藤干夫创立了代数分析这一新领域。1970年，柏原正树在导师的指导下完成了硕士论文，这篇仅在23岁写就的论文奠定了D-模理论（D-Module Theory）的基础，为用代数分析研究线性微分方程组提供了全新范式。此后25年间，尽管该论文仅以日文存世，却持续产生巨大影响，最终被译为英文出版。

广泛的数学领域

以硕士论文为起点，柏原正树以一系列突破性发现继续拓展其卓越的数学事业。他的众多成果对数学多个领域产生深远影响，大力推动了这些领域的发展。数十年来，很多数学家深受柏原正树思想的启迪。

研究生期间，柏原正树随佐藤干夫及河合隆裕（Takahiro Kawai）赴法，结识了终身合作者Pierre Schapira。1974年在京都大学取得博士学位后，他任名古屋大学副教授。1977年他赴麻省理工学院访学，1978年回日本后一直任职于京都大学数理解析研究所（RIMS）。2010年退休后任荣誉教授，现仍以项目教授身份在RIMS开展研究。2019年起他兼任京都大学高等研究院（KUIAS）特聘教授，该院是日本为汇聚世界顶尖研究而特别设立的机构。

著作与荣誉

柏原正树是一位特别高产的数学家，除大量出版物外，更贡献了许多被他人发展的思想。他的多部专著已成为领域的标准参考文献。

他曾荣获多项殊荣，包括朝日奖、日本学士院奖、藤原奖、国际数学联盟陈省身奖、稻盛基金会京都奖、国际基础科学大会科学前沿奖等。

“五十余年来，柏原正树重塑并深刻丰富了代数分析与表示论领域。他的研究始终居于当代数学前沿，激励着一代又一代研究人员。”挪威科学与文学院院长Annelin Eriksen如是评价。

获奖引文

对称性在数学与物理世界中无处不在。表示论运用代数工具研究一个给定的对称性如何通过向量空间上的线性变换来表示；而线性偏微分方程的传统研究方法则依赖于分析。由佐藤干夫开创的代数分析，是通过代数手段对这些方程的一种系统研究方法。柏原正树在这一领域做出了开创性贡献，为表示论带来了惊人的联系与非凡的成果。

D-模（D-modules）为研究线性偏微分方程组提供了代数语言。柏原正树1970年发表的硕士论文发展了解析D-模理论，引入特征簇（characteristic variety）的基本概念，并证明了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理（Cauchy–Kovalevskaya theorem）的一种广泛推广形式。这一早期成果彰显了代数方法在解决分析问题方面的强大力量。

在与Pierre Schapira合作研究层的微局部分析（microlocal analysis of sheaves）时，柏原正树进一步发展了这一思想。简言之，微局部分析将流形上的微分方程（differential equations on manifolds）与余切丛（cotangent bundle）上的几何对象联系起来。柏原正树与河合隆裕、佐藤干夫共同为该理论引入多个基础性新概念，并阐明了线性微分方程组的一般微局部结构。

希尔伯特第21问题（常称黎曼-希尔伯特对应）询问黎曼球面上是否存在一个具有正则奇点（regular singularities）和指定局部单值性（prescribed local monodromies）的线性微分方程。Pierre Deligne在更高维度上扩展并解决了这一问题。柏原正树提出并证明了一个广泛推广的黎曼-希尔伯特对应关系，即正则完整D-模（regular holonomic D-modules）和反常层（perverse sheaves）之间的等价性。Zoghman Mebkhout独立获得了该结果。近期，柏原正树与Andrea D'Agnolo将黎曼-希尔伯特对应关系推广至未必正则的完整D-模。

表示论中的Kazhdan-Lusztig猜想可视为将表示的特征与相交上同调群（ intersection cohomology groups）建立了联系。柏原正树与Jean-Luc Brylinski通过巧妙运用黎曼-希尔伯特对应关系给出了证明。Alexander Beilinson和Joseph Bernstein则用不同方法独立完成了证明。

此后，柏原正树与谷崎俊之(Toshiyuki Tanisaki)通过在无限维旗簇（flag variety）上发展D-模理论，将Kazhdan-Lusztig猜想推广至无限维仿射李代数。自此，D-模理论成为不可或缺的工具，为表示论（包括正特征情形）带来诸多新发展。

受数学物理学中可解晶格模型研究的启发，Vladimir Drinfeld和Michio Jimbo在80年代末分别独立形式化了量子群。它们是复半单（complex semi-simple）李代数或Kac-Moody李代数的包络代数（enveloping algebra）的变形。柏原正树引入了晶体基（crystal bases）概念，并证明了量子群可积最高权表示中晶体基的存在性。其证明通过现称为“大环论证”（grand loop argument）的复杂归纳过程完成，这一卓绝工作至今未有明显简化。柏原正树还将晶体基推广至全局基（global bases），该概念被George Lusztig以“典范基”（canonical bases）之名独立发现。这项工作可被视为对杨图（Young diagrams）与杨表（Young tableaux）理论的一次广泛而富有成效的推广。

图片来自阿贝尔奖官网https://abelprize.no

关于阿贝尔奖

阿贝尔奖是以挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔的名字命名的。2002年，在阿贝尔诞辰200周年之际，挪威政府决定设立阿贝尔奖。作为数学界的最高荣誉之一，阿贝尔奖与菲尔兹奖、沃尔夫数学奖并称国际数学界“三大奖”，备受数学界人士关注。

该奖于2003年首次颁发，每年评选一次，由挪威科学与文学院具体负责管理并颁发，授予对数学领域有卓越贡献的杰出数学家。5位国际公认的数学家组成阿贝尔奖委员会，挪威科学与文学院根据该委员会的推荐来选定获奖者。奖金由挪威政府提供，为750万挪威克朗（约合人民币518万元）。

据其官网显示，本届颁奖典礼将于2025年5月20日在挪威奥斯陆举行。

关于阿贝尔奖的更多信息请登录其官网查看：https://abelprize.no/。

学会办公室供稿，信息来自阿贝尔奖官网

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